小侯七课堂 考研数学整理笔记干货!快快收藏起来备用

??a) 若f（x）是可导的以T为周期的周期函数，则f’（x）也是以T为周期的周期函数

b) 可积f（x）以T为周期则F(x)＝以T为周期的充要条件=0

c) f（x）全体原函数周期为T等价于=0

l 单调性

a) 单调有界准则求数列极限

b) 研究函数性态

c) 求方程唯一零点

例题

l 有界性 在定义域上谈

a) 有界性M不一定是极限值，｜sinx｜小于等于a也可

b) 充要条件是要有上界与下界

c) 无穷小一定有界

d) 无穷大一定无界，无界量不一定无穷大

e) f’（x）在有限区间上有界则f（x）在区间上有界

考研

l 专题1:极限的定义

1函数极限的定义

定义

2.数列的极限证明：

目标：1.会写定义（仿照函数极限）

2.会做递推不等式用单调有界证明极限存在

例题

极限的三大性质

l 专题2:三大性质证明整理

a) 唯一性：反证法

假设f（x）在x趋于无穷时 有两个极限A，B，且A>B取ε=(A-B)/2，存在N1，当n>N1时，有 | f（x）-A|N2时，有 | f（x）-B|N时，上面两式同时成立(1)可化为：(B-A)/2< f（x）-A<(A-B)/2，可得 (B+A)/2< f（x）<(A-B)/2+A(2)可化为：(B-A)/2< f（x）-B<(A-B)/2，可得 (B-A)/2+B< f（x）(A+B)/2，另一个是f（x）<(A+B)/2所以假设不成立，极限唯一

b) 局部保号性：证明函数极限大于0时，在x趋于x0，f(x)大于零。对任意的ε>0,在x趋于x0，存在δ>0, 满足 |f(x)-A|<ε, 即有 A-ε<f(x)<A+ε. 当取 ε=A/2，则上式变为 A/2<f(x) < 3A/2,在（x0-δ,x0+δ）上成立。 即找到一个区间上，f(x)大于零。

c) 局部有界性

例题

l 专题3:讨论函数在区间上有界性方法：

（1） 若区间为［a，b］那么根据“连续函数在［a，b］上必有界”直接可得

（2） 若区间为（a，b）那么：

（a） x趋向a＋ 函数极限存在

（b）x趋向b－ 函数极限存在

（c）函数在（a，b）内连续那么在［a，b］连续从而由 （1）得 出［a，b］有界

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